Задание №57096 ЕГЭ Профильной математике

Координаты вектора равны разности координат конца вектора и его начала. Поэтому вектор $\vec{a}$имеет координаты $(2; 6)$ вектор $\vec{\mathrm{b}}$ имеет координаты $(8; 4)$. По определению скалярное произведение двух векторов равно произведению их длин на косинус угла между ними: $\vec{\mathrm{a}}\cdot \vec{\mathrm{b}}=\mathrm{\mid }\vec{\mathrm{a}}\mid \mid \vec{\mathrm{b}}\mathrm{\mid }\cos \mathrm{\alpha }$, откуда

$\cos \mathrm{\alpha }=\frac{\vec{\mathrm{a}}\cdot \vec{\mathrm{b}}}{\mathrm{\mid }\vec{\mathrm{a}}\mid \mid \vec{\mathrm{b}}\mathrm{\mid }}\mathrm{.}$

Запишем скалярное произведение векторов в координатах:

$\vec{\mathrm{a}}\cdot \vec{\mathrm{b}}={\mathrm{x}}_1\cdot {\mathrm{x}}_2+{\mathrm{y}}_1\cdot {\mathrm{y}}_2=2\cdot 8+6\cdot 4=40.$

Найдем длины векторов:

$\mathrm{\mid }\vec{\mathrm{a}}\mathrm{\mid }=\sqrt{2^2+6^2}=\sqrt{40},$

$\mathrm{\mid }\vec{\mathrm{b}}\mathrm{\mid }=\sqrt{8^2+4^2}=\sqrt{80}\mathrm{.}$

Тогда:

$\cos \mathrm{\alpha }=\frac{40}{\sqrt{40}\cdot \sqrt{80}}=\frac{40}{\sqrt{40\cdot 80}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\mathrm{.}$

Поскольку $0^{\circ }\le \mathrm{\alpha }\le {180}^{\circ }$, уравнение $\cos \mathrm{\alpha }=\frac{1}{\sqrt{2}}$ имеет единственное решение: $\mathrm{\alpha }={45}^{\circ }$