1) затмЕвать - искл., запоминаем, подарочЕк - при изменении формы слова (подарочка) гласная выпадает, пишем Е;
2) усидчИвый - неизм. суф., ненавидЕли - прошедшее время сохраняет суффикс инфинитива, от которого оно образовано: ненавидЕть — ненавидЕли, пишем Е;
3) аплодирОвать - суффиксы –ова или –ева пишутся тогда, когда глагол в первом лице единственного числа настоящего или будущего простого времени оканчивается на –ую(–юю): аплодирую, издавнА - наречия с приставками ИЗ, ДО, С, образованные от кратких прилагательных, имеют на конце букву А;
4) никелЕвый - гласная в безударном положении, пишем Е, настаИвать - если в форме 1 лица настоящего или будущего времени глагол заканчивается на -ываю(-иваю), то в неопределенной форме и в прошедшем времени пишется -ыва-/-ива-: настаИВАЮ;
5) соломИнка - если слово образовано от существительного, которое заканчивается на -ина – мы сохраняем и: соломинка – соломина, разборчИвый - неизм.