Задание №75691 ЕГЭ Профильной математике

Чтобы прямая y=—2x+6  была касательной (в какой-либо точке) к графику функции y=x³—3x²+x+5, производная от неё должна быть равна угловому коэффициенту касательной, то есть, —2 (коэффициент перед x):

y′=(x³—3x²+x+5)′=3x²—6x+1

3x²—6x+1=—2⇔3x²—6x+3=0⇔x=1.

Проверим, является ли найденная точка действительно точкой касания. Для этого найдём значение прямой y=—2x+6 и функции y=x³—3x²+x+5 в точке x=1:

y(1)=—2⋅1+6=4

y(1)=1³—3⋅1²+1+5=4

Так как найденные значения равны, то x=1 является искомой точкой касания.

Ответ: 1.