Задание №95644 ЕГЭ Профильной математике

а)  Прямоугольные треугольники AQM и AHM равны, поскольку имеют общую гипотенузу и равные острые углы. Следовательно, HM  =  MQ как соответственные элементы равных фигур. В прямоугольном треугольнике MQC один из острых углов равен 30°, значит, катет, противолежащий этому углу, равен половине гипотенузы. Не ограничивая общности, положим MQ  =  x, а MC  =  2x. По свойству биссектрисы откуда AH  =  AQ и AC  =  2AQ. Далее, AQ  =  QC, а из равных прямоугольных треугольников AQM и CQM находим: AM  =  MC. Получаем, что отрезок AM  — медиана, равная половине стороны, к которой проведена. Из этого следует, что при вершине  A треугольника ABC расположен прямой угол.

б)  В треугольнике ABC катет AB лежит против угла в 30°, а потому он вдвое меньше гипотенузы, откуда BC  =  20 и MC  =  10. Квадрат катета в прямоугольном треугольнике равен произведению гипотенузы на проекцию этого катета на гипотенузу. Значит, откуда

Следовательно, HM  =  10 – 5  =  5. Заметим, что треугольники FHM и CQM равны, поскольку HM  =  QM и углы QMC и HMF равны как вертикальные. Отсюда FM  =  MC  =  10, а по теореме Пифагора в треугольнике FHM:

Итак, искомая площадь равна

Ответ: б)