Задание №95645 ЕГЭ Профильной математике

а)  Достроим прямую AM до пересечения с прямой CM в точке K. Пусть тогда По свойству прямоугольного треугольника Треугольник CHB прямоугольный, тогда поэтому в треугольнике ACK имеем тогда прямые AM и CN перпендикулярны.

б)  Заметим, что в треугольнике ACN отрезок AK является биссектрисой и высотой, а значит, треугольник ACN равнобедренный. Тогда CK  =  KN. Таким образом, отрезок AK является серединным перпендикуляром к стороне CN, а значит, CM  =  MN. Аналогично прямая CK  — биссектриса и высота в треугольнике MCT, следовательно, треугольник является равнобедренным и CM  =  CT.

Воспользуемся свойством биссектрисы для треугольника ABC:

Таким образом, СТ  =  5, TB  =  15. Получаем, MN  =  CT  =  CM  =  5.

Ответ: б)  5.