Задание №95646 ЕГЭ Профильной математике

а)  Точки A, C₁, H, B₁ лежат на окружности с диаметром AH. Углы С₁AH и C₁B₁H равны как вписанные, значит, углы тоже BAH и BB₁C₁ тоже равны. Что и требовалось доказать.

б)  Пусть O  — центр описанной окружности треугольника ABC, D  — середина стороны BC. Требуется вычислить длину отрезка  OD. Заметим, что Поэтому треугольники AB₁C₁ и ABC подобны по двум пропорциональным сторонам и углу между ними, коэффициент подобия равен Значит, BC  =  2B₁C₁  =  24, BD  =  12.

Угол BOС равен удвоенному углу BAC, то есть 120°. Следовательно, угол OBD равен 30°. Найдем искомое расстояние:

Ответ: б)