Задание №95693. Дан параллелограмм ABCD c острым углом DAB. В нем опущены

Задание №95693 ЕГЭ Профильной математике

Условие задания #95693

Дан параллелограмм ABCD c острым углом DAB. В нем опущены высоты BP и BQ на стороны AD и CD соответственно. На стороне AD отмечена точка M так, что AM  =  BP. Известно, что AB  =  BQ.

а)  Докажите, что BM  =  PQ.

б)  Найдите площадь треугольника APQ, если AM  =  BP  =  12, AB  =  BQ  =  15.

Ответ

Ответ:

Решение

а)  Пусть угол ABP равен α. Тогда $\angle BAP = \angle BCQ = 90 градусов минус альфа .$ Значит, угол CBQ равен α и угол PBQ равен  $90 градусов минус альфа .$ Треугольники ABM и BQP равны по двум сторонам и углу между ними, поэтому отрезок BM равен отрезку PQ.

б)  Проведем прямую QH параллельно прямой DP. Треугольник ABP равен треугольнику BQH по гипотенузе и острому углу. По теореме Пифагора получим:
$AP = корень из: начало аргумента: AB в квадрате минус BP в квадрате конец аргумента = корень из: начало аргумента: 15 в квадрате минус 12 в квадрате конец аргумента = 9.$

Отрезок BH равен отрезку AP, поэтому $HP = BP минус BH = 3.$ Высота треугольника APQ, проведенная из вершины Q, равна отрезку HP. Таким образом, площадь треугольника APQ равна
$S_APQ = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби умножить на AP умножить на HP = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби умножить на 9 умножить на 3 = дробь: числитель: 27, знаменатель: 2 конец дроби .$

Ответ: б)  $дробь: числитель: 27, знаменатель: 2 конец дроби .$

Приведем другое решение пункта б) Александра Турбанова (Липецк).

В треугольнике ABP $синус \angle BAP = дробь: числитель: BP, знаменатель: AB конец дроби = дробь: числитель: 12, знаменатель: 15 конец дроби = дробь: числитель: 4, знаменатель: 5 конец дроби ,$ откуда $косинус \angle BAP= дробь: числитель: 3, знаменатель: 5 конец дроби ,$
$синус \angle QAP = синус левая круглая скобка \angle BAP минус 45 градусов правая круглая скобка =$ $= синус \angle BAP косинус 45 градусов минус синус 45 градусов косинус \angle BAP = дробь: числитель: 4, знаменатель: 5 конец дроби умножить на дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби минус дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби умножить на дробь: числитель: 3, знаменатель: 5 конец дроби = дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента , знаменатель: 10 конец дроби .$

Далее, $AP = AB косинус \angle BAP = 9,$ $PM = 12 минус 9 = 3.$ В равнобедренном прямоугольном треугольнике ABQ находим: $AQ = 15 корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента .$

Найдем искомую площадь:

$S_APQ = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби умножить на AP умножить на AQ умножить на синус \angle QAP = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби умножить на 9 умножить на 15 корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента умножить на дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента , знаменатель: 10 конец дроби = дробь: числитель: 270, знаменатель: 20 конец дроби = дробь: числитель: 27, знаменатель: 2 конец дроби .$

Понятно ли решение?

Авторизуйся, чтобы посмотреть решение

Активируй TG-бот через QR-код или по кнопке
Введи код авторизации из TG-бота

Активировать TG-бот