Задание №95694. В ромбе ABCD точки K и L   середины ребер BC и CD

Задание №95694 ЕГЭ Профильной математике

Условие задания #95694

В ромбе ABCD точки K и L  — середины ребер BC и CD соответственно. Прямые AK и AL пересекают диагональ BD в точках P и Q соответственно.

а)  Докажите, что S_APQ  =  S_BKP + S_DLQ.

б)  Известно, что в пятиугольник CKPQL можно вписать окружность. Найдите ее радиус, если сторона ромба ABCD равна  $12 корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента .$

Ответ

Ответ:

Решение

а)  Пусть диагонали ромба пересекаются в точке O. Медиана треугольника делит его на два равновеликих, поэтому $S_ABO = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби S_ABC = S_ABK,$ откуда $S_BPK = S_APO.$ Аналогично получаем, что $S_AOQ = S_DLQ.$ Таким образом, $S_APQ = S_APO плюс S_AOQ = S_BPK плюс S_DQL.$

б)  В треугольнике ABC медианы пересекаются в точке P, поэтому $BP = 2PO.$ Аналогично из треугольника ADC находим: $DQ = 2QO.$ Диагонали ромба делятся точкой пересечения попола; положим $BP = QD = 2x,$ тогда $PO = OQ = x.$ По теореме косинусов в треугольнике PBK:

$PK = корень из: начало аргумента: BK в квадрате плюс BP в квадрате минус 2 умножить на BP умножить на BK умножить на косинус \angle PBK конец аргумента = корень из: начало аргумента: левая круглая скобка 6 корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента правая круглая скобка в квадрате плюс левая круглая скобка 2x правая круглая скобка в квадрате минус 2 умножить на 2x умножить на 6 корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента умножить на дробь: числитель: BO, знаменатель: BC конец дроби конец аргумента =$ $= корень из: начало аргумента: 180 плюс 4x в квадрате минус 24 корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента x умножить на дробь: числитель: 3x, знаменатель: 12 корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента конец дроби конец аргумента = корень из: начало аргумента: 180 плюс 4x в квадрате минус 6x в квадрате конец аргумента = корень из: начало аргумента: 180 минус 2x в квадрате конец аргумента .$

Окружность, вписанная в пятиугольник CKPQL, вписана и в четырехугольник CKPD. Следовательно, суммы противоположных его сторон равны: $PK плюс CD = PD плюс KC,$ то есть

$корень из: начало аргумента: 180 минус 2x в квадрате конец аргумента плюс 12 корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента = 4x плюс 6 корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента равносильно корень из: начало аргумента: 180 минус 2x в квадрате конец аргумента = 4x минус 6 корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента равносильно$ $равносильно система выражений 180 минус 2x в квадрате = 16x в квадрате минус 48 корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента x плюс 180, 180 минус 2x в квадрате больше или равно 0 конец системы . равносильно система выражений 18x в квадрате = 48 корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента x, x в квадрате меньше или равно 90 конец системы . \underset x больше 0 \mathop равносильно x = дробь: числитель: 8 корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента , знаменатель: 3 конец дроби .$

Тогда $BO = 8 корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента ,$ а по теореме Пифагора в треугольнике BOC:

$OC = корень из: начало аргумента: BC в квадрате минус BO в квадрате конец аргумента = корень из: начало аргумента: 720 минус 320 конец аргумента = корень из: начало аргумента: 400 конец аргумента = 20.$

Окружность, вписанная в четырехугольник CKPD, вписана и в треугольник BCD. Имеем:

$r = дробь: числитель: S_BCD, знаменатель: p_BCD конец дроби = дробь: числитель: дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби умножить на OC умножить на BD, знаменатель: дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби умножить на левая круглая скобка BC плюс CD плюс BD правая круглая скобка конец дроби = дробь: числитель: 20 умножить на 16 корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента , знаменатель: 12 корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента плюс 12 корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента плюс 16 корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента конец дроби = дробь: числитель: 320, знаменатель: 40 конец дроби = 8.$

Ответ: б)  8.

Понятно ли решение?

Авторизуйся, чтобы посмотреть решение

Активируй TG-бот через QR-код или по кнопке
Введи код авторизации из TG-бота

Активировать TG-бот