Задание №95772 ЕГЭ Профильной математике

а)  Обозначим центры окружностей O₁ и O₂ соответственно. Пусть общая касательная, проведённая к окружностям в точке K, пересекает AB в точке M. По свойству касательных, проведённых из одной точки, AM  =  KM и KM  =  BM. Треугольник AKB, у которого медиана равна половине стороны, к которой она проведена,  — прямоугольный. Вписанный угол AKD прямой, поэтому он опирается на диаметр AD. Значит, AD ⊥ AB. Аналогично получаем, что BC ⊥ AB. Следовательно, прямые AD и BC параллельны.

б)  Пусть, для определенности, радиус окружности с центром в точке O₁ равен 4, а радиус окружности с центром в точке O₂ равен 1. Треугольники BKC и AKD подобны, Пусть тогда У треугольников AKD и AKB общая высота, следовательно,

то есть S_AKB  =  4S. Аналогично, S_CKD  =  4S. Площадь трапеции ABCD равна 25S.

Вычислим площадь трапеции ABCD. Заметим, что Проведём к AD перпендикуляр O₂H, равный высоте трапеции, и найдём его из прямоугольного треугольника O₂HO₁. Получаем:

Следовательно, 25S  =  20, откуда S  =  0,8 и S_AKB  =  4S  =  3,2.

Ответ: б) 3,2.