Задание №95774 ЕГЭ Профильной математике

а)  Пусть АВ  — диаметр большей из трёх окружностей, О  — её центр, O₁  — центр окружности радиуса r у касающейся окружности с диаметром АВ в точке А, O₂  — центр окружности радиуса R, касающейся окружности с диаметром АВ в точке С, окружности с центром O₁  — в точке D, отрезка АВ  — в точке Е. Точки О, O₂ и С лежат на одной прямой, поэтому OO₂  =  ОС − O₂С  =  ОС − R. Аналогично ОО₁  =  OA − О₁А  =  ОА − r и O₁O₂  =  O₁D + O2D  =  r + R. Следовательно, периметр треугольника OO₁O₂ равен

б)  Пусть OA  =  6, r  =  2. Тогда получаем: O₂Е  =  R, O₁O₂  =  2 + R, OO₁  =  OA − О₁А  =  6 − 2  =  4, OO₂  =  ОС − O₂С  =  6 − R. Из прямоугольных треугольников O₁O₂Е и OO₂Е находим, что

а так как О₁E  =  OO₁ + ОЕ, то Из этого уравнения находим, что R = 3 (это значит, что диаметр искомой окружности равен радиусу наибольшей из трёх окружностей, то есть точка Е совпадает с О).

Ответ: 3.