Задание №95775 ЕГЭ Профильной математике

а)  Пусть две хорды равны 3x и 3y. По теореме о произведении пересекающихся хорд 2x · x  =  2y · y. Отсюда находим, что x  =  y, значит, эти хорды равны. Аналогично докажем, что третья хорда равна каждой из первых двух.

б)  Равные хорды равноудалены от центра окружности, поэтому центр равностороннего треугольника с вершинами в точках попарного пересечения хорд совпадает с центром данной окружности. Пусть хорды BE и CF пересекают хорду AD в точках P и Q соответственно, хорды BE и FC пересекаются в точке T, а H  — проекция центра O на хорду AD. Тогда H  — общая середина отрезков AD и PQ, а OH  — радиус вписанной окружности равностороннего треугольника PQT со стороной PQ.

Через точку T проведём прямую, параллельную AD, через точку P  — прямую, параллельную CF, а через точку Q  — прямую, параллельную BE. Эти прямые и хорды AD, BE и CF разбивают шестиугольник ABCDEF на 13 одинаковых равносторонних треугольников.

Обозначим PQ  =  2a. Тогда

Отсюда находим, что a  =  9, значит, PQ = 2a = 18,

Следовательно,

Ответ: