Задание №95802 ЕГЭ Профильной математике

а)  Пусть Так как О  — центр вписанной окружности треугольника ABC, то АО, ВО  — биссектрисы углов А и В, значит, Угол BOK внешний для треугольника AOB, поэтому (см. рис.).

Так как BK = OK (по построению), то тогда 

Углы CBK и KAC опираются на один и тот же отрезок CK и равны друг другу: Тогда по признаку, связанным со свойством вписанных углов, точки А, В, К, С лежат на одной окружности.

б)  Обозначим через r, R радиусы вписанной и описанной окружностей треугольника Пусть H  — проекция точки О на сторону AB (см. рис.), тогда Так как точки А, В, К, С лежат на одной окружности, то радиус описанной окружности треугольника ABKсовпадает с радиусом описанной окружности треугольника и равен R. Из треугольника ABK по теореме синусов: Тогда 

Так как то

Ответ: 18,75.