Задание №95803 ЕГЭ Профильной математике

а)  Пусть вписанная окружность касается стороны AB в точке K. Обозначим BK  =  x. Пусть S  — площадь треугольника, p  — полупериметр. Тогда

С другой стороны, по формуле Герона

Из уравнения получаем, что R  =  x. Стороны треугольника ABC равны 6,5R, 6R и 2,5R, следовательно, этот треугольник прямоугольный с прямым углом при вершине B.

б)  Пусть I и O  — центры соответственно вписанной и описанной окружностей треугольника ABC. Точка O  — середина гипотенузы AC  =  6,5R  =  26, и OM  =  CO − CM  =  13 − 1,5R  =  7.

Тогда

Ответ: б)