Задание №95850 ЕГЭ Профильной математике

a)  Пусть окружность, вписанная в квадрат, касается его стороны AB в точке M₁, стороны AD  — в точке N₁, а прямой MN  — в точке T. По свойству касательных и Тогда:

б)  Положим и Тогда:

По теореме Пифагора то есть

Отсюда находим, что Тогда и

Пусть точка O  — центр окружности, а прямая PO пересекает стороны AD и BC в точках L и H соответственно. Из равенства треугольников DOL и BOH следует, что поэтому

Окружность вписана в угол MPC, значит, PL  — биссектриса треугольника DPN, который подобен треугольнику AMN. Используя свойство биссектрисы и подобие, находим:

откуда Учитывая, что находим, что и

Ответ: б)  1 : 4.