Задание №96094 ЕГЭ Профильной математике

Искомое расстояние — высота $A_{1}H$ треугольника $A_{1}B{C}_1$.
Найдём стороны треугольника по теореме Пифагора:

$$A_{1}B=\sqrt{6^2+9^2}=\sqrt{36+81}=\sqrt{117}=3\sqrt{13},$$
$$B{C}_1=\sqrt{6^2+6^2}=\sqrt{72}=6\sqrt{2}\mathrm{.}$$

Теперь по теореме косинусов в треугольнике $A_{1}B{C}_1$ найдём косинус угла $A_1{C}_{1}B=\phi$:

$$A_1{B}^2=A_1{C}_1^2+B{C}_1^2-2\cdot A_1{C}_1\cdot B{C}_1\cdot \cos \phi ,$$
$$(3\sqrt{13}{)}^2=81+72-2\cdot 9\cdot 6\sqrt{2}\cdot \cos \phi ,$$
$$\sin \phi =\sqrt{1-{\cos }^2\phi }=\sqrt{1-\frac{2}{36}}=\sqrt{\frac{34}{36}}=\frac{\sqrt{34}}{6}\mathrm{.}$$​В прямоугольном треугольнике $A_{1}H{C}_1$:

$$\sin \phi =\frac{A_{1}H}{A_1{C}_1}⟹A_{1}H=A_1{C}_1\cdot \sin \phi =9\cdot \frac{\sqrt{34}}{6}=\frac{3\sqrt{34}}{2}\mathrm{.}$$

Ответ: ${\displaystyle \frac{3\sqrt{34}}{2}}$.