Задание №96095 ЕГЭ Профильной математике

Искомое расстояние — длина перпендикуляра $A_{1}M$ из точки $A_1$ к прямой $BC$. Так как $A_1{D}_1\parallel B_1{C}_1\parallel BC$, то $A_1{D}_1\parallel BC$. Тогда $A_{1}M$ равна высоте $BH$ трапеции $A_{1}BC{D}_1$.

По теореме Пифагора в треугольнике $A_{1}AB$:

$$A_{1}B=\sqrt{A_1{A}^2+A{B}^2}=\sqrt{6^2+6^2}=6\sqrt{2}\mathrm{.}$$

Рассмотрим трапецию на выносном чертеже:

Опустим в трапеции высоты $BH$ и $CF$ к основанию.

$BHFC$ — прямоугольник, треугольники $A_{1}BH$ и $CF{D}_1$ равны, значит  $A_{1}H=HF=F{D}_1$.

$A_1{D}_1=AD=9$, $BC=3$, тогда $A_{1}H=\frac{9-3}{2}=3$.

$$BH=\sqrt{(6\sqrt{2}{)}^2-3^2}=\sqrt{72-9}=\sqrt{63}=3\sqrt{7}\mathrm{.}$$

Ответ: $3\sqrt{7}$.