Задание №96096 ЕГЭ Профильной математике

Искомое расстояние — высота пирамиды $ABCD$ из точки $D$ к основанию $ABC$.

Пусть $M$ — середина $AB$. Проведём перпендикуляр $DH$ на прямую $CM$.
Покажем, что $DH$ — высота пирамиды.

$CM\perp AB$ (медиана в равностороннем треугольнике), $DM\perp AB$ (медиана в равнобедренном треугольнике $ADB$).
Значит, $AB\perp (DCM)$, следовательно $AB\perp DH$.
По построению $DH\perp CM$, поэтому $DH\perp (ABC)$.

Найдём $CM$ и $DM$:

$$CM=\frac{6\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{3},DM=\sqrt{6^2-3^2}=\sqrt{36-9}=\sqrt{27}=3\sqrt{3}\mathrm{.}$$

Обозначим $DH=h$, $CH=x$. По теореме Пифагора в треугольниках $DMH$ и $DCH$:

$$\{\begin{array}{l}(3\sqrt{3}{)}^2=(3\sqrt{3}-x{)}^2+h^2,\\ h^2=3^2-x^2=9-x^2\mathrm{.}\end{array}$$

Подставим $h^2$ в первое уравнение:

$$27=27-6\sqrt{3}x+x^2+9-x^2,$$
$$27=36-6\sqrt{3}x⟹6\sqrt{3}x=9⟹x=\frac{9}{6\sqrt{3}}=\frac{3}{2\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{2}\mathrm{.}$$
$$h^2=9-{\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)}^2=9-\frac{3}{4}=\frac{36}{4}-\frac{3}{4}=\frac{33}{4}⟹h=\frac{\sqrt{33}}{2}\mathrm{.}$$

Ответ: ${\displaystyle \frac{\sqrt{33}}{2}}$.