Задание №96098 ЕГЭ Профильной математике

A1​B1​∥AB, откуда $A_1{B}_1\parallel (AB{C}_1)$. Тогда расстояние от точки $B_1$ до плоскости $AB{C}_1$ равно расстоянию от любой другой точки прямой $A_1{B}_1$ до этой плоскости. Удобнее всего выбрать точку $N$ — середину $A_1{B}_1$.

Рассмотрим точку $M$ — середину $AB$. Докажем, что прямая $AB$ перпендикулярна плоскости $MN{C}_1$.

$N{B}_{1}BM$ — прямоугольник → $MB\perp MN$.

$C_{1}N$— высота в равностороннем треугольнике $A_1{B}_1{C}_1$, значит $C_{1}N\perp A_1{B}_1$, а так как $A_1{B}_1\parallel AB$, то $C_{1}N\perp AB$.

Таким образом, $AB$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым $MN$ и $C_{1}N$ плоскости $MN{C}_1$, значит $AB\perp (MN{C}_1)$.

Опустим перпендикуляр $NH$ в треугольнике $MN{C}_1$:

$NH\perp M{C}_1$

$NH\perp AB$ (так как $AB\perp (MN{C}_1)$)

Значит $NH\perp (AB{C}_1)$.

Вычисления:
$C_{1}N={\displaystyle \frac{6\sqrt{3}}{2}}=3\sqrt{3}$ (высота равностороннего треугольника),
$MN=3$ (боковое ребро).

По теореме Пифагора:

$$C_{1}M=\sqrt{M{N}^2+C_1{N}^2}=\sqrt{9+27}=\sqrt{36}=6.$$

Высота в прямоугольном треугольнике:

$$NH=\frac{C_{1}N\cdot MN}{C_{1}M}=\frac{3\sqrt{3}\cdot 3}{6}=\frac{9\sqrt{3}}{6}=\frac{3\sqrt{3}}{2}\mathrm{.}$$

Ответ: ${\displaystyle \frac{3\sqrt{3}}{2}}$.