Задание №96100 ЕГЭ Профильной математике

а) Чтобы доказать, что прямая $SD$ перпендикулярна плоскости $PQR$, нужно найти две прямые плоскости $PQR$, перпендикулярные $SD$
Тогда по признаку перпендикулярности прямой и плоскости мы сможем доказать то, что нам нужно.

1. $DB$ — диагональ квадрата со стороной $8$

$$DB=8\sqrt{2}\mathrm{.}$$

Тогда по обратной теореме Пифагора треугольник $SDB$ — прямоугольный, так как

$$S{B}^2+S{D}^2=8^2+8^2=128=(8\sqrt{2}{)}^2=D{B}^2,$$то есть $DS\perp SB$.
Так как $SB\parallel PQ$, получим $DS\perp PQ$.

2. $SO$ — высота пирамиды, то есть $DO$ — проекция $DS$ на плоскость основания.

$$DO\perp AC,AC\parallel QR⟹DO\perp QR\mathrm{.}$$

Тогда по теореме о трёх перпендикулярах $DS\perp QR$.

$$DS\perp QR,DS\perp PQ⟹DS\perp (PQR),$$что и требовалось доказать.

б) Пусть плоскость $PQR$ пересекает ребро $SD$ в точке $E$. Опять же, нам совершенно не нужно здесь расписывать ход построения точки $E$.

Из доказанного в пункте а) следует, что прямые $PE$ и $SD$ перпендикулярны, так как прямая $SD$ перпендикулярна любой прямой плоскости $PQR$.
Рассмотрим равносторонний треугольник $ASD$.
В нём опущен перпендикуляр $PE$ из точки $P$ к стороне $SD$.
Тогда $PES$ — прямоугольный треугольник, а значит

$$SE=SP\cos {60}^{\circ }=(SA-PA)\cdot \frac{1}{2}=(8-3)\cdot \frac{1}{2}=\frac{5}{2}\mathrm{.}$$

Тогда

$$DE=SD-SE=8-\frac{5}{2}=\frac{16}{2}-\frac{5}{2}=\frac{11}{2}\mathrm{.}$$

Искомое расстояние равно $DE$, так как $SD\perp (PQR)$.

Ответ: ${\displaystyle \frac{11}{2}}$