Задание №96101 ЕГЭ Профильной математике

a) Искомое расстояние — высота треугольника $A_{1}B{C}_1$, опущенная из вершины $B$ к стороне $A_1{C}_1$. Треугольник равносторонний, так как все его стороны — диагонали квадратов в гранях куба.

$$BH=\frac{A_{1}B\cdot \sqrt{3}}{2}=\frac{8\sqrt{2}\cdot \sqrt{3}}{2}=4\sqrt{6}\mathrm{.}$$

б) Искомое расстояние — высота треугольника $AB{D}_1$, опущенная из вершины $A$ к стороне $B{D}_1$.
Так как ребро $AB$ перпендикулярно к боковой грани $A{A}_1{D}_1$, то $AB\perp A{D}_1$.

Тогда высота $AH$ прямоугольного треугольника $AB{D}_1$ равна:

$$AH=\frac{A{D}_1\cdot AB}{D_{1}B}=\frac{8\sqrt{2}\cdot 8}{\sqrt{8^2+8^2+8^2}}=\frac{64\sqrt{2}}{8\sqrt{3}}=\frac{8\sqrt{2}}{\sqrt{3}}=\frac{8\sqrt{6}}{3}\mathrm{.}$$

Ответ: $\frac{8\sqrt{6}}{3}$