Задание №96102 ЕГЭ Профильной математике

Опустим высоту пирамиды $ST$ ( $T$ — центр основания). Так как $T$ — середина $DB$, расстояние от точки $T$ до плоскости $BCS$ в два раза меньше расстояния от точки $D$ до этой плоскости.

Пусть $SM$ — апофема к ребру $BC$. По обратной теореме о трёх перпендикулярах $BC\perp TM$.

Прямая $BC$ перпендикулярна плоскости $STM$ (так как $BC\perp TM$ и $BC\perp ST$), следовательно $BC\perp TH$, где $TH$ — высота треугольника $STM$.

Так как $TH\perp SM$(по построению) и $TH\perp BC$, то $TH\perp (BSC)$.

Вычисления:
$ST=3$,
$TM={\displaystyle \frac{6}{2}}=3$

Треугольник $STM$ прямоугольный,

$$SM=\sqrt{3^2+3^2}=3\sqrt{2}\mathrm{.}$$

$$TH=\frac{ST\cdot MT}{SM}=\frac{3\cdot 3}{3\sqrt{2}}=\frac{3}{\sqrt{2}}=\frac{3\sqrt{2}}{2}\mathrm{.}$$Расстояние от точки $D$ до плоскости $SBC$:

$$DT=2\cdot TH=2\cdot \frac{3\sqrt{2}}{2}=3\sqrt{2}\mathrm{.}$$

Ответ: $3\sqrt{2}$