Задание №96234 ЕГЭ Профильной математике

Пусть $P$ — середина отрезка $OG$. Тогда $KP$ — средняя линия треугольника $TOG$, следовательно $TO\parallel KP$, и $KP\perp ABC$.

Тогда

$$\mathrm{\angle }(FK;TO)=\mathrm{\angle }(FK;KP)=\mathrm{\angle }FKP=\phi \mathrm{.}$$

Так как $KP\perp EFG$, треугольник $FKP$ — прямоугольный.

Следовательно, $$\cos \phi =\frac{KP}{FK}\mathrm{.}$$

Обозначим ребро пирамиды за $a$. Тогда $$EG=a\sqrt{2}\mathrm{.}$$

По теореме Пифагора в треугольнике $TGO$: $$TO=\sqrt{T{G}^2-G{O}^2}=\sqrt{a^2-{\left(\frac{a\sqrt{2}}{2}\right)}^2}=\sqrt{\frac{a^2}{2}}=\frac{a\sqrt{2}}{2}\mathrm{.}$$

$$KP=\frac{1}{2}TO=\frac{a\sqrt{2}}{4}$$(как средняя линия в треугольнике $TOG$). $FK$ — медиана и высота равностороннего треугольника, откуда $$FK=\frac{a\sqrt{3}}{2}\mathrm{.}$$

Тогда  $$\cos \phi =\frac{\frac{a\sqrt{2}}{4}}{\frac{a\sqrt{3}}{2}}=\frac{1}{\sqrt{6}}\mathrm{.}$$

Ответ:

$$\arccos \frac{1}{\sqrt{6}}\mathrm{.}$$