Задание №96236 ЕГЭ Профильной математике

Пусть $N$ — середина $BM$. Тогда $KN$ — средняя линия треугольника $BDM$, следовательно, $KN\parallel DM$

$AK=3\sqrt{3}$ как высота в равностороннем треугольнике $ABD$ (сторона 6):

$$AK=\frac{6\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{3}\mathrm{.}$$

$DM$ — высота в равностороннем треугольнике $BCD$:

$$DM=\frac{6\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{3}\mathrm{.}$$

Тогда  $$KN=\frac{1}{2}DM=\frac{3\sqrt{3}}{2}$$ как средняя линия в треугольнике $BDM$.

Найдём $AN$ по теореме косинусов в треугольнике $ABN$:

В треугольнике $ABN$:
$AB=6$, $BN=\frac{1}{2}BM=\frac{1}{2}\cdot 3=1,5$ (так как $M$ — середина $BC$, значит $BM=3$),
$\mathrm{\angle }ABN={60}^{\circ }$ (угол правильного треугольника).

$$A{N}^2=A{B}^2+B{N}^2-2\cdot AB\cdot BN\cdot \cos {60}^{\circ }$$

$$A{N}^2=36+2,25-2\cdot 6\cdot 1,5\cdot \frac{1}{2}$$

​$$AN=\frac{\sqrt{117}}{2}=\frac{3\sqrt{13}}{2}$$

По теореме косинусов в треугольнике $AKN$:

$$A{N}^2=A{K}^2+K{N}^2-2\cdot AK\cdot KN\cdot \cos \phi$$

$$\frac{117}{4}=27+\frac{27}{4}-2\cdot 3\sqrt{3}\cdot \frac{3\sqrt{3}}{2}\cdot \cos \phi$$

$$-\frac{18}{4}=-27\cos \phi$$

$$\cos \phi =\frac{18}{108}=\frac{1}{6}$$

Ответ: $\arccos \frac{1}{6}$