Задание №96238 ЕГЭ Профильной математике

Пусть $ABCD$ — правильный тетраэдр, а $DH$ — его высота.
Тогда $H$ — центр основания, лежащий на $AM$— медиане и высоте треугольника $ABC$, а $AH$ — проекция $AD$ на плоскость основания.

Угол между прямой $AD$ и плоскостью основания равен $\gamma$.

$AM$ — высота равностороннего треугольника $ABC$ со стороной 8:

$$AM=\frac{8\sqrt{3}}{2}=4\sqrt{3}\mathrm{.}$$

$H$ — точка пересечения медиан, которая делит медиану в отношении $2:1$, считая от вершины. Поэтому:

$$AH=\frac{2}{3}AM=\frac{2}{3}\cdot 4\sqrt{3}=\frac{8\sqrt{3}}{3}\mathrm{.}$$

Тогда

$$\cos \gamma =\frac{AH}{AD}=\frac{\frac{8\sqrt{3}}{3}}{8}=\frac{\sqrt{3}}{3}\mathrm{.}$$

Ответ: $\arccos \frac{\sqrt{3}}{3}$.