Задание №96240 ЕГЭ Профильной математике

AA1​∥СС1​, значит $\mathrm{\angle }(A{A}_1;AB{C}_1)=\mathrm{\angle }(С{С}_1;AB{C}_1)$.

Пусть $M$ — середина $AB$. Тогда $C_{1}M$ и $CM$ — медианы и высоты равнобедренных треугольников $A{C}_{1}B$ и $ACB$.

$AB\perp C_{1}M,AB\perp CM⟹AB\perp \left(C_{1}MC\right)\mathrm{.}$

Пусть $CH$ — высота треугольника $C_{1}MC$.

$CH\perp C_{1}M,CH\perp AB(\text{так как }AB\perp (C_{1}MC\left)\right)⟹\text{\hspace{0.25em}\hspace{0.05em}C}H\perp \left(AB{C}_1\right)\mathrm{.}$

Таким образом, $CH$ — перпендикуляр к плоскости $A{C}_{1}B$ из точки $C$, а значит $C_{1}H$ — проекция прямой $C{C}_1$ на эту плоскость.
Тогда $\mathrm{\angle }(C{C}_1;AB{C}_1)=\mathrm{\angle }(C_{1}C;C_{1}H)=\mathrm{\angle }{\mathrm{CC}}_{1}H$.

Будем искать тангенс этого угла в прямоугольном треугольнике $M{C}_{1}C$:

$\tan \phi =\frac{MC}{C{C}_1}\mathrm{.}$

$MC=\frac{AB\sqrt{3}}{2}=\frac{4\sqrt{3}}{2}=2\sqrt{3}$
$C{C}_1=4$.

$tg\phi =\frac{2\sqrt{3}}{4}=\frac{\sqrt{3}}{2}\mathrm{.}$

Ответ: $\mathrm{arctg}\frac{\sqrt{3}}{2}$