Задание №96242 ЕГЭ Профильной математике

а) Поскольку точка $M$ — середина образующей $SA$, а прямая $MN$ параллельна образующей $SB$, точка $N$ — середина отрезка $AB$. Медиана $NO$ равнобедренного треугольника $AOB$ является его высотой. Таким образом, $\mathrm{\angle }ANO={90}^{\circ }$.

б) Пусть точка $H$ — середина отрезка $AO$. Тогда $MH$ — средняя линия треугольника $ASO$ и параллельна высоте конуса $SO$, а значит, перпендикулярна плоскости основания конуса. Следовательно, угол между прямой $BM$ и плоскостью основания конуса равен углу $MBH$.

В треугольнике $AOB$:

$AO=3$, $AB=4$, $AN=NB=2$.

$$\cos \mathrm{\angle }OAB=\frac{AN}{AO}=\frac{2}{3}\mathrm{.}$$

По теореме косинусов в треугольнике $ABH$ ($AH=\mathrm{1,5}$):

$$BH=\sqrt{A{H}^2+A{B}^2-2\cdot AH\cdot AB\cdot \cos \mathrm{\angle }OAB}$$

​$$BH=\sqrt{\mathrm{18,25}-8}=\sqrt{\mathrm{10,25}}=\sqrt{\frac{41}{4}}=\frac{\sqrt{41}}{2}\mathrm{.}$$

В треугольнике $MBH$:

$MH$ — средняя линия в треугольнике $ASO$:

$$MH=\frac{SO}{2}=\frac{\sqrt{7}}{2}\mathrm{.}$$

$$\tan \mathrm{\angle }MBH=\frac{MH}{HB}=\frac{\frac{\sqrt{7}}{2}}{\frac{\sqrt{41}}{2}}=\sqrt{\frac{7}{41}}\mathrm{.}$$

Ответ:
а) $\mathrm{\angle }ANO={90}^{\circ }$;
б) $\arctan \sqrt{\frac{7}{41}}$