Задание №96265 ЕГЭ Профильной математике

Введём систему координат с началом в точке $D$.
Пусть:

$$D(0;0;0),A(0;4;0),C(4;0;0),D_1(0;0;4)\mathrm{.}$$

Тогда:

$$A_1(0;4;4),B(4;4;0),C_1(4;0;4)\mathrm{.}$$

Точка $M$ — середина $C{C}_1$:

$$M(\frac{4+4}{2};\frac{0+0}{2};\frac{0+4}{2})=(4;0;2)\mathrm{.}$$

а) Длина $A_{1}M$:

$$A_{1}M=\sqrt{(4-0{)}^2+(0-4{)}^2+(2-4{)}^2}=\sqrt{16+16+4}=\sqrt{36}=6.$$

б) Векторы:

$$\overrightarrow{A_{1}M}=(4;-4;-2),$$ $$\overrightarrow{BD}=(-4;-4;0)(\text{из }B(4;4;0)\text{ в }D(0;0;0))\mathrm{.}$$

Скалярное произведение:

$$\overrightarrow{A_{1}M}\cdot \overrightarrow{BD}=4\cdot (-4)+(-4)\cdot (-4)+(-2)\cdot 0=-16+16+0=0.$$

Значит, $\overrightarrow{A_{1}M}\perp \overrightarrow{BD}$, угол между прямыми ${90}^{\circ }$.

Ответ: а) $6$; б) ${90}^{\circ }$