Задание №96266 ЕГЭ Профильной математике

Определим координаты всех вершин куба

Начало координат — в $A(0;0;0)$
Ребро = 1.

$A(0;0;0)$

$B(1;0;0)$

$D(0;1;0)$

$C(1;1;0)$ (так как $ABCD$ — квадрат в плоскости $z=0$)

Верхнее основание $A_1{B}_1{C}_1{D}_1$: сдвиг по $z$ на 1.

$A_1(0;0;1)$

$B_1(1;0;1)$

$D_1(0;1;1)$

$C_1(1;1;1)$

 

а) Плоскость $A_1{B}_1{C}_1$

Точки: $A_1(0;0;1)$, $B_1(1;0;1)$, $C_1(1;1;1)$.

Все три точки имеют $z=1$. Значит, плоскость горизонтальна, параллельна $xOy$:

$$z=1$$

Ответ а: $z=1$

б) Плоскость $AB{B}_1$

Точки: $A(0;0;0)$, $B(1;0;0)$, $B_1(1;0;1)$.

Заметим: у всех точек $y=0$. Это вертикальная плоскость, содержащая ось $x$ и параллельная оси $z$:

$$y=0$$

Ответ б: $y=0$

в) Плоскость $A_{1}BD$

Точки: $A_1(0;0;1)$, $B(1;0;0)$, $D(0;1;0)$.

Общее уравнение плоскости: $ax+by+cz+d=0$.

Подставим точки:

1. $A_1:a\cdot 0+b\cdot 0+c\cdot 1+d=0\Rightarrow c+d=0\Rightarrow d=-c$

2. $B:a\cdot 1+b\cdot 0+c\cdot 0+d=0\Rightarrow a+d=0\Rightarrow a=-d$

3. $D:a\cdot 0+b\cdot 1+c\cdot 0+d=0\Rightarrow b+d=0\Rightarrow b=-d$

Из (1) $d=-c$, значит $c=-d$.
Из (2) $a=-d$.
Из (3) $b=-d$.

Выберем $d=-1$.
Тогда $a=1$, $b=1$, $c=1$.

Уравнение:
$1\cdot x+1\cdot y+1\cdot z-1=0$

$$x+y+z=1$$

Ответ в: $x+y+z=1$

г) Плоскость $B_{1}C{D}_1$

Точки: $B_1(1;0;1)$, $C(1;1;0)$, $D_1(0;1;1)$

Подставляем в $ax+by+cz+d=0$:

1. $B_1:a\cdot 1+b\cdot 0+c\cdot 1+d=0\Rightarrow a+c+d=0$

2. $C:a\cdot 1+b\cdot 1+c\cdot 0+d=0\Rightarrow a+b+d=0$

3. $D_1:a\cdot 0+b\cdot 1+c\cdot 1+d=0\Rightarrow b+c+d=0$

Вычтем (2) из (1):
$(a+c+d)-(a+b+d)=0-0\Rightarrow c-b=0\Rightarrow c=b$

Из (3): $b+c+d=0$, но $c=b$, значит $2b+d=0\Rightarrow d=-2b$.

Из (2): $a+b+(-2b)=0\Rightarrow a-b=0\Rightarrow a=b$.

Итак, $a=b=c=t$, $d=-2t$.

Возьмём $t=1$: $a=1,b=1,c=1,d=-2$

Уравнение:
$x+y+z-2=0$

$$x+y+z=2$$

Ответ г: $x+y+z=2$

Ответ:

а) $z=1$
б) $y=0$
в) $x+y+z=1$
г) $x+y+z=2$