Задание №96267 ЕГЭ Профильной математике

 

Найдём координаты точек:

$B_1(2;0;2), \; C_1(2;2;2)$

Середина ребра $B_1C_1$
$N\left(2;1;2\right)$

a) Выведем уравнение плоскости $AB_1N$:

Пусть плоскость имеет вид: $$ax + by + cz + d = 0$$

Подставим точки: $A(0;0;0):$ $$d = 0$$ $B_1(2;0;2):$ $$2a + 2c + d = 0 \Rightarrow 2a + 2c = 0$$

$N(2;1;2):$ $$2a + b + 2c + d = 0 \Rightarrow 2a + b + 2c = 0$$

Получаем систему: $$\begin{cases} d = 0 \\ 2a + 2c = 0 \\ 2a + b + 2c = 0 \end{cases}$$

Решаем: $$2a + 2c = 0 \Rightarrow a = -c$$

Подставим: $$2(-c) + b + 2c = 0 \Rightarrow b = 0$$

Берём $c = 1$, тогда: $$a = -1,\; b = 0,\; d = 0$$

Уравнение плоскости:

$$-x + z = 0$$

б) Расстояние от точки $D_1(0;2;2)$ до плоскости

Формула расстояния: $$\rho = \frac{|ax_0 + by_0 + cz_0 + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}$$​

Подставим: $$\rho = \frac{| -0 + 0 + 2 |}{\sqrt{1 + 0 + 1}} = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$$

в) Угол между прямой $AD_1$ и плоскостью

Направляющий вектор прямой: $$\vec{AD_1} = (0,2,2)$$

Нормаль плоскости: $$\vec{n} = (-1,0,1)$$

Формула: $$\sin \varphi = \frac{|\vec{v} \cdot \vec{n}|}{|\vec{v}| \cdot |\vec{n}|}$$

Скалярное произведение: $$(0,2,2)\cdot(-1,0,1) = 2$$

Длины: $$|\vec{v}| = \sqrt{8}, \quad |\vec{n}| = \sqrt{2}$$

​ $$\sin \varphi = \frac{2}{\sqrt{8}\cdot\sqrt{2}} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$$

​ $$\varphi = 30^\circ$$

Ответ:

a) плоскость: $-x + z = 0$
б) расстояние: $\sqrt{2}$
в) угол: $30^\circ$