Задание №96268 ЕГЭ Профильной математике

a)

Пусть ребро куба равно $2p$.

Введём систему координат с началом в точке $D$:

$$A(0;2p;0), \quad B(2p;2p;0), \quad C(2p;0;0), \quad D(0;0;0)$$ $$B_1(2p;2p;2p)$$

Середины:

$$M(p;2p;0), \quad N(0;p;0)$$

Найдём векторы:

$$\vec{B_1N} = (0-2p,\; p-2p,\; 0-2p) = (-2p,-p,-2p)$$ $$\vec{CM} = (p-2p,\; 2p-0,\; 0-0) = (-p,2p,0)$$

Скалярное произведение:

$$(-2p)(-p) + (-p)(2p) + (-2p)\cdot0 = 2p^2 - 2p^2 = 0$$ $$\Rightarrow \; B_1N \perp CM$$

$$б)$$Дано: $$|B_1N| = 3\sqrt{5}$$

Найдём длину: $$|B_1N| = \sqrt{(-2p)^2 + (-p)^2 + (-2p)^2} = 3p$$

 $$3p = 3\sqrt{5} \Rightarrow p = \sqrt{5}$$

Ребро куба: $$2p = 2\sqrt{5}$$

Составим уравнение плоскости $\alpha$

Пусть: $$ax + by + cz + d = 0$$

Плоскость параллельна $CM$, значит её нормаль перпендикулярна:

$$\vec{CM} = (-p,2p,0)$$ $$-ap + 2bp + 0 = 0 \Rightarrow -a + 2b = 0 \Rightarrow a = 2b$$

Уравнение: $$2bx + by + cz + d = 0$$

Подставим точки: 1) $N(0;p;0)$

$$b p + d = 0 \Rightarrow d = -bp$$

2) $B_1(2p;2p;2p)$

$$2b\cdot2p + b\cdot2p + c\cdot2p + d = 0$$

 $$6bp + 2cp + d = 0$$

Подставим $d = -bp$

Берём $b = 2$

$$a = 4,\quad c = -5,\quad d = -2p$$

Плоскость:

$$4x + 2y - 5z - 2p = 0$$

Расстояние от точки $C(2p;0;0)$

$\rho = \frac{|ax_0 + by_0 + cz_0 + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}$

$$\rho = \frac{|4\cdot2p + 0 - 0 - 2p|}{\sqrt{16 + 4 + 25}} = \frac{6p}{\sqrt{45}} = \frac{2p}{\sqrt{5}}$$

Подставим $p = \sqrt{5}$

$$\rho = \frac{2\sqrt{5}}{\sqrt{5}} = 2$$

Ответ: б) 2​