Задание №96269 ЕГЭ Профильной математике

Введём координаты

Основание — квадрат со стороной 4 в плоскости $z=0$

$$A(-2;-2;0), \quad B(2;-2;0), \quad C(2;2;0), \quad D(-2;2;0)$$

Вершина $S$ над центром основания: $$O(0;0;0)$$

Так как пирамида правильная, $S(0;0;h)$
Найдём $h$ из $SA=8$

$$SA^2 = (-2)^2 + (-2)^2 + h^2 = 64 \Rightarrow 8 + h^2 = 64 \Rightarrow h^2 = 56 \Rightarrow h = 2\sqrt{14}$$

 $$S(0;0;2\sqrt{14})$$

Найдём точки $N$ и $K$

Точка $N$ на $CD$, $DN:NC = 1:3$

$$N = D + \tfrac{1}{4}(C - D) = (-2;2;0) + \tfrac{1}{4}(4;0;0)$$ $$N(-1;2;0)$$ 

Точка $K$ на , $SK:KC = 1:3$

$$K = S + \tfrac{1}{4}(C - S)$$ $$C - S = (2;2;-2\sqrt{14})$$$$K = (0;0;2\sqrt{14}) + \tfrac{1}{4}(2;2;-2\sqrt{14})$$ $$K\left(\tfrac{1}{2};\tfrac{1}{2};\tfrac{3}{2}\sqrt{14}\right)$$

a) Докажем отношение на $AB$

Пусть плоскость $\alpha$ проходит через $K$, $N$ и параллельна $BC$.

Вектор: $$\vec{BC} = (0;4;0)$$ В плоскости лежат:$$\vec{KN}, \quad \vec{BC}$$

Найдём нормаль: $$\vec{KN} = N - K = \left(-\tfrac{3}{2};\tfrac{3}{2};-\tfrac{3}{2}\sqrt{14}\right)$$

 $$\vec{n} = \vec{KN} \times \vec{BC}$$  $$\vec{n} = \begin{vmatrix} \mathbf{i}&\mathbf{j}&\mathbf{k}\\ -\tfrac{3}{2}&\tfrac{3}{2}&-\tfrac{3}{2}\sqrt{14}\\ 0&4&0 \end{vmatrix} = (6\sqrt{14},0,-6)$$

Упростим: $$\vec{n} = (\sqrt{14},0,-1)$$

Уравнение плоскости

Подставим точку $N(-1;2;0)$: $$-\sqrt{14} + d = 0 \Rightarrow d = \sqrt{14}$$

Пересечение с $AB$

Параметризация: $$A + t(B-A) = (-2;-2;0) + t(4;0;0)$$ $$x = -2 + 4t,\quad y=-2,\quad z=0$$

Подставим:

$$\sqrt{14}(-2+4t) + \sqrt{14} = 0$$

 $$-\sqrt{14} + 4\sqrt{14}t = 0 \Rightarrow t = \tfrac{1}{4}$$$$\Rightarrow AM:MB = 1:3$$

б) Расстояние между прямыми $SA$ и $KN$

Направляющие векторы: $$\vec{SA} = (-2;-2;-2\sqrt{14})$$ $$\vec{KN} = \left(-\tfrac{3}{2};\tfrac{3}{2};-\tfrac{3}{2}\sqrt{14}\right)$$

Формула расстояния между скрещивающимися прямыми: $\rho = \frac{|(\vec{a}\times\vec{b})\cdot\vec{c}|}{|\vec{a}\times\vec{b}|}$

где
$\vec{a} = \vec{SA}, \; \vec{b} = \vec{KN}, \; \vec{c} = \overrightarrow{AK}$

$$\vec{AK} = \left(\tfrac{5}{2};\tfrac{5}{2};\tfrac{3}{2}\sqrt{14}\right)$$

 $$\vec{a} \times \vec{b} = (6\sqrt{14},0,-6)$$

Скалярное произведение: $$(6\sqrt{14})\cdot\tfrac{5}{2} + 0 + (-6)\cdot\tfrac{3}{2}\sqrt{14} = 15\sqrt{14} - 9\sqrt{14} = 6\sqrt{14}$$

Длина: $$|\vec{a} \times \vec{b}| = \sqrt{504+36} = 6\sqrt{15}$$

$$\rho = \frac{6\sqrt{14}}{6\sqrt{15}} = \sqrt{\frac{14}{15}}$$

Ответ:

a) $1:3$
б) $\boxed{\sqrt{\frac{14}{15}}}$