Задание №96272 ЕГЭ Профильной математике

Рассмотрим тетраэдр $PACB$. Выразим его объём двумя способами:

$V = \frac{1}{3} \cdot PO \cdot S_{ACB}$, $V = \frac{1}{3} \cdot d \cdot S_{PAB}$

Отсюда: $$d = \frac{PO \cdot S_{ACB}}{S_{PAB}}$$

Пусть $PH$ — апофема грани $PAB$, а $O$ — центр основания.

Тогда $OH \perp AB$, причём $OH = \frac{1}{2} AD = 4$.

По теореме Пифагора в треугольнике $POH$:

$$PH = \sqrt{PO^2 + OH^2} = \sqrt{4^2 + 4^2} = 4\sqrt{2}$$

Найдём площади:

​ $$S_{ACB} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 8 = 32$$

Теперь подставим:

$$d = \frac{4 \cdot 32}{16\sqrt{2}} = \frac{128}{16\sqrt{2}} = \frac{8}{\sqrt{2}} = 4\sqrt{2}$$

Ответ: $4\sqrt{2}$