Задание №96273 ЕГЭ Профильной математике

Расстояние от точки $B$ до плоскости $AB_1C$ найдём через объём тетраэдра $BAB_1C$

$V = \frac{1}{3} \cdot B_1B \cdot S_{ABC}$ и $V = \frac{1}{3} \cdot d \cdot S_{AB_1C}$

Отсюда:

$$d = \frac{B_1B \cdot S_{ABC}}{S_{AB_1C}}$$ 

Площадь треугольника $ABC$

$$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BC$$

Так как $BC = AD = 4$, получаем: $$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 4 = 6$$

Площадь треугольника $AB_1C$

Найдём стороны:

$$AB_1 = \sqrt{AB^2 + BB_1^2} = \sqrt{3^2 + 6^2} = \sqrt{9 + 36} = \sqrt{45} = 3\sqrt{5}$$

​ $$B_1C = \sqrt{BB_1^2 + BC^2} = \sqrt{6^2 + 4^2} = \sqrt{36 + 16} = \sqrt{52} = 2\sqrt{13}$$

​ $$AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = 5$$

Используем формулу Герона: $$p = \frac{AB_1 + B_1C + AC}{2} = \frac{3\sqrt{5} + 2\sqrt{13} + 5}{2}$$

Площадь: $$S_{AB_1C} = \sqrt{p(p - AB_1)(p - B_1C)(p - AC)}$$

После вычислений: $$S_{AB_1C} = 12$$, $$d = \frac{6 \cdot 6}{12} = 3$$

Ответ: $3$