Задание №96274 ЕГЭ Профильной математике

Сначала найдём расстояние от точки $B$ до плоскости $AB_1C$ через объём тетраэдра $BAB_1C$.

$V = \frac{1}{3} \cdot B_1B \cdot S_{ABC}$ и $V = \frac{1}{3} \cdot d \cdot S_{AB_1C}$

Отсюда: $$d = \frac{B_1B \cdot S_{ABC}}{S_{AB_1C}}$$

Площадь $\triangle ABC$: $$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 4 = 6$$

Площадь $\triangle AB_1C$:

Найдём стороны: $$AB_1 = \sqrt{3^2 + 6^2} = 3\sqrt{5}, \quad B_1C = \sqrt{6^2 + 4^2} = 2\sqrt{13}, \quad AC = 5$$

По формуле Герона: $$S_{AB_1C} = 12$$

Расстояние от точки $B$ до плоскости

$$d = \frac{6 \cdot 6}{12} = 3$$

Теперь найдём угол.

Пусть $BH$ — перпендикуляр к плоскости $AB_1C$. Тогда в прямоугольном треугольнике: $$\sin \varphi = \frac{BH}{BB_1}$$ $$BH = 3, \quad BB_1 = 6$$

$$\sin \varphi = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$$

$$\varphi = \arcsin \frac{1}{2}$$

Ответ: $\arcsin \dfrac{1}{2}$