Задание №96276 ЕГЭ Профильной математике

Рассмотрим тетраэдр $AB_1CD_1$. Используем формулу:

$V = \frac{2}{3} \cdot \frac{S_{AB_1D_1} \cdot S_{CB_1D_1}}{B_1D_1} \cdot \sin\varphi$

Объём тетраэдра

Объём параллелепипеда: $$V_{\text{пар}} = 3 \cdot 4 \cdot 6 = 72$$

Объём одного тетраэдра: $$S_{AA_1D_1} = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 6 = 12$$

 $$V_{AA_1B_1D_1} = \frac{1}{3} \cdot 12 \cdot 3 = 12$$

Тогда: $$V_{AB_1CD_1} = 72 - 4 \cdot 12 = 24$$

2. Площади граней

Найдём стороны: $$B_1D_1 = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5$$, $$AB_1 = \sqrt{3^2 + 6^2} = 3\sqrt{5}, \quad AD_1 = \sqrt{4^2 + 6^2} = 2\sqrt{13}$$

По формуле Герона  $$S_{AB_1D_1} = S_{CB_1D_1} = 6\sqrt{10}$$

Тогда: $$\sin\varphi = \frac{3 \cdot 5 \cdot 24}{2 \cdot (6\sqrt{10})^2} = \frac{360}{2 \cdot 36 \cdot 10} = \frac{360}{720} = \frac{1}{2}$$

$$\varphi = \arcsin \frac{1}{2}$$

Ответ: $\arcsin \dfrac{1}{2}$