Задание №96277 ЕГЭ Профильной математике

Заметим, что $$A_1B \parallel D_1C$$

Угол между прямыми равен $60^\circ$, поэтому: $$\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$$

Рассмотрим тетраэдр $A_1B_1BC$

Объём: $$V = \frac{1}{3} \cdot A_1B_1 \cdot S_{B_1BC}$$

​ $$A_1B_1 = 4,\quad S_{B_1BC} = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 4 = 8$$ $$V = \frac{1}{3} \cdot 4 \cdot 8 = \frac{32}{3}$$

Диагонали: $$A_1B = B_1C = 4\sqrt{2}$$

Используем формулу: $V = \frac{1}{6} \cdot A_1B \cdot B_1C \cdot d \cdot \sin\varphi$

Подставим:

$$\frac{32}{3} = \frac{1}{6} \cdot (4\sqrt{2})^2 \cdot d \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$$

​​ $$\frac{32}{3} = \frac{1}{6} \cdot 32 \cdot d \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{32}{6} \cdot d \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{16}{3}\sqrt{3} \cdot d$$

$$d = \frac{32/3}{(16/3)\sqrt{3}} = \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}}{3}$$

Ответ: $\dfrac{2\sqrt{3}}{3}$.