Привет! На картинке представлен предел функции, когда x стремится к нулю. Давай попробуем его решить.
Итак, у нас есть следующее выражение:
[ \lim_{{x \to 0}} \frac{e^x - e^{-x} - 2x}{1 - \cos x} ]
Для начала мы можем отметить, что прямой подстановки x = 0 сделать не получится, так как в знаменателе будет ноль. Это типичная ситуация "неопределенность 0/0", поэтому нам нужно преобразовать выражение, чтобы упростить его.
Поскольку ( \cos x ) близок к 1 при x, стремящемся к нулю, и в знаменателе у нас (1 - \cos x), это напоминает нам формулу для вычисления производной синуса в нуле ( \sin x \over x ) стремящийся к 1 при x → 0. Также в числителе фигурирует ( e^x - e^{-x} ), что является формулой гиперболического синуса, ( sinh(x) ).
Однако, чтобы применить знания о пределе ( \frac{\sin x}{x} ), нужно иметь синус в числителе. Но не стоит забывать, что ( \sin x ) аналогичен ( \sinh x ), если ( x ) бесконечно мал.
Таким образом, мы можем воспользоваться эквивалентностью (1 - \cos x \approx \frac{x^2}{2}), когда ( x ) стремится к нулю, и выразить гиперболический синус через экспоненты.
Используем замену:
[ 1 - \cos x \approx \frac{x^2}{2} ]
[ e^x - e^{-x} = 2\sinh x \approx 2x ]
Тогда получаем:
[ \lim_{{x \to 0}} \frac{2x - 2x}{x^2/2} ]
После сокращения (2x) в числителе, останется:
[ \lim_{{x \to 0}} \frac{0}{x^2/2} ]
Этот предел равен 0, так как числитель равен нулю, а знаменатель - квадрат маленького числа, который не равен нулю.
Таким образом, ответ:
[ \lim_{{x \to 0}} \frac{e^x - e^{-x} - 2x}{1 - \cos x} = 0 ]
Надеюсь, это помогло! Если есть еще вопросы или что-то непонятно - спрашивай.
