Решить интеграл
Привет! Давай вместе разберемся с этим интегралом.
Здесь у нас неопределенный интеграл функции \(3x^3 + 5x - 8\) по переменной \(dx\), и пределы интегрирования от 0 до 2.
Чтобы решить этот интеграл, применим основную теорему анализа. Нам нужно найти первообразную для \(3x^3 + 5x - 8\), а затем вычесть значения этой первообразной в пределе интегрирования \(x=0\) из значения в пределе \(x=2\).
Сначала найдем первообразную:
- Интеграл от \(x^n\) равен \(\frac{x^{n+1}}{n+1}\), поэтому интеграл от \(3x^3\) будет \(\frac{3x^{4}}{4}\).
- Интеграл от \(5x\) будет \(\frac{5x^{2}}{2}\).
- Интеграл от константы \(c\) равен \(cx\), так что интеграл от \(-8\) будет \(-8x\).
Теперь сложим наши результаты, чтобы получить первообразную полной функции: \(\frac{3x^{4}}{4} + \frac{5x^{2}}{2} - 8x\).
Теперь применим пределы интегрирования от 0 до 2:
- Подставим верхний предел 2 и получим \(\frac{3*2^{4}}{4} + \frac{5*2^{2}}{2} - 8*2\).
- Подставим нижний предел 0 и, так как любая функция в степени ноль равна нулю, весь выражение обнулится.
Остается только вычислить значение выражения для верхнего предела и посмотреть, чему оно будет равно. Так мы найдем значение интеграла в заданных пределах.
Итак, давай выполним вычисления для \(x=2\): \(\frac{3*2^{4}}{4} + \frac{5*2^{2}}{2} - 8*2 = \frac{3*16}{4} + \frac{5*4}{2} - 16 = 12 + 10 - 16 = 6\).
Значение интеграла от 0 до 2 равно 6. Надеюсь, этот разбор был понятным! Если есть вопросы – задавай, разберемся.
