На сторонах AB и AC остроугольного треугольника ABC как на диаметрах построены окружности. Прямая, проходящая через вершину A параллельно стороне BC, пересекает эти окружности в точках N и M. Докажите, что MN = BC

Доказательство: Посмотрим на треугольники AMN и ABC. Углы, соответственно образованные дугами AC и AB на окружностях, равны углам BCA и ABC, так как они соответственно опираются на те же дуги (теорема об углах, опирающихся на дуги). Поскольку прямая MN параллельна стороне BC, угол AMN равен углу ABC (параллельные линии). Таким образом, по двум углам треугольника AMN и треугольника ABC можно заключить, что они подобны (по признаку подобия по двум углам). Отсюда следует, что отношение соответствующих сторон этих треугольников равно. То есть MN/BC = AN/AC. Так как AMN - прямоугольный треугольник, AN = AM. Тогда остается только заменить в полученном равенстве AN на AM: MN/BC = AM/AC. Если перепишем это равенство, получим AM/AC = BC/MN. Теперь можем заменить MN на BC: AM/AC = BC/BC. Очевидно, что оно выполняется, так как отношение с одинаковыми числителем и знаменателем равно единице. Таким образом, доказано, что MN = BC.