Груз массой 30 кг, закреплённый на пружине жесткостью 480 Н/м, совершает гармонические колебания. Для начала определим период колебаний груза.
Период колебаний можно найти по формуле:
[ T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}} ]
Где:
- ( T ) - период колебаний,
- ( m ) - масса груза,
- ( k ) - жёсткость пружины.
Подставляем известные значения:
[ T = 2\pi \sqrt{\frac{30 кг}{480 Н/м}} ]
[ T = 2\pi \sqrt{\frac{1}{16}} ]
[ T = 2\pi \times 0.25 ]
[ T = 0.5\pi \approx 1.57 , сек ]
Таким образом, период колебаний ( T ) равен примерно 1.57 секунды.
Частоту колебаний ( f ) можно найти по формуле:
[ f = \frac{1}{T} ]
[ f = \frac{1}{1.57} \approx 0.64 Гц ]
Следующим шагом найдем максимальные значения скорости и ускорения. Максимальная скорость достигается в крайних точках колебаний и равна амплитуде умноженной на частоту:
[ V_{max} = A \times 2\pi f ]
[ V_{max} = 0.2 м \times 2\pi \times 0.64 Гц \approx 0.804 м/с ]
Максимальное ускорение также можно найти по аналогичной формуле:
[ а_{max} = A \times (2\pi f)^2 ]
[ а_{max} = 0.2 м \times (2\pi \times 0.64 Гц)^2 \approx 2.56 м/с^2 ]
Теперь перейдем к уравнениям колебаний. Уравнение координаты ( x ) для гармонических колебаний имеет вид:
[ x(t) = A \cdot \cos(2\pi f t) ]
Уравнения скорости и ускорения выражаются следующим образом:
[ V(t) = -A \cdot 2\pi f \cdot \sin(2\pi f t) ]
[ а(t) = -A \cdot (2\pi f)^2 \cdot \cos(2\pi f t) ]
Теперь найдем полную энергию колеблющегося груза. Полная энергия ( E ) равна сумме кинетической и потенциальной энергий:
[ E = E_k + E_p ]
[ E_k = \frac{1}{2}mV_{max}^2 ]
[ E_p = \frac{1}{2}kA^2 ]
Подставим значения и найдем полную энергию груза.
Надеюсь, данное объяснение поможет вам понять и решить задачу по гармоническим колебаниям. Если у вас есть дополнительные вопросы, не стесняйтесь задавать. Успехов в учебе!
