Вычислить

Привет! Давай вместе разберемся с задачей на картинке.

Нам нужно вычислить значение выражения:

\( \frac{\log_2 24 - \frac{1}{2} \log_2 72}{\log_3 18 - \frac{1}{3} \log_3 72} \)

Сначала упростим числитель и знаменатель, используя свойства логарифмов:

1. \( \log_b(m^n) = n \cdot \log_b m \) - свойство логарифма степени.
2. \( \log_b (m \cdot n) = \log_b m + \log_b n \) - свойство логарифма произведения.
3. \( \log_b (\frac{m}{n}) = \log_b m - \log_b n \) - свойство логарифма частного.

Сперва числитель:

\( \log_2 24 - \frac{1}{2} \log_2 72 = \log_2 24 - \log_2 72^\frac{1}{2} \)

Легко заметить, что \( 72^\frac{1}{2} = \sqrt{72} = 6\sqrt{2} \), так как \( 72 = 36 \cdot 2 \) и \( \sqrt{36} = 6 \).

Таким образом:

\( \log_2 24 - \frac{1}{2} \log_2 72 = \log_2 24 - \log_2 6 - \log_2 \sqrt{2} \)

Теперь знаменатель:

\( \log_3 18 - \frac{1}{3} \log_3 72 = \log_3 18 - \log_3 72^\frac{1}{3} \)

\( 72^\frac{1}{3} = \sqrt[3]{72} = \sqrt[3]{9 \cdot 8} = \sqrt[3]{9} \cdot \sqrt[3]{8} = 2\sqrt[3]{9} \)

Также учтем, что \( 18 = 9 \cdot 2 \):

\( \log_3 18 - \frac{1}{3} \log_3 72 = \log_3 (9 \cdot 2) - \log_3 (2\sqrt[3]{9}) = \log_3 9 + \log_3 2 - \log_3 2 - \frac{1}{3}\log_3 9 \)

Теперь можем упростить выражение:

\( \frac{\log_2 24 - \log_2 6 - \log_2 \sqrt{2}}{\log_3 9 + \log_3 2 - \log_3 2 - \frac{1}{3}\log_3 9} \)

Из числителя и знаменателя можно вычесть \( \log_2 6 \) и \( \log_3 2 \) соответственно:

\( \frac{\log_2 24 - \log_2 \sqrt{2}}{\log_3 9 - \frac{1}{3}\log_3 9} \)

Так как \( \log_3 9 = 2 \), знаменатель примет вид:

\( \log_3 9 - \frac{1}{3}\log_3 9 = 2 - \frac{2}{3} = \frac{4}{3} \)

В числителе используем \( \log_2 \sqrt{2} = \log_2 2^\frac{1}{2} = \frac{1}{2} \):

\( \log_2 24 - \frac{1}{2} = \log_2 (16 \cdot 1.5) - \frac{1}{2} = \log_2 16 + \log_2 1.5 - \frac{1}{2} \)

Так как \( \log_2 16 = 4 \), получаем:

\( \log_2 24 - \frac{1}{2} = 4 + \log_2 1.5 - \frac{1}{2} = 4 + \log_2 (\frac{3}{2}) - \frac{1}{2} \)

Итак, весь результат будет выглядеть так:

\( \frac{4 + \log_2 \frac{3}{2} - \frac{1}{2}}{\frac{4}{3}} \)

Дальнейшее упрощение может не быть тривиальным без калькулятора, но вы всегда можете подставить числовые значения и упростить выражение, чтобы получить конечный результат.

Со мной все понятно или нужна дополнительная помощь?