Привет! Давай вместе разберемся с этими примерами.
Задание №1:
Для нахождения значения выражения ( \frac{7^3 \cdot 49^{-4}}{7^{-13}} ) воспользуемся свойствами степеней.
( 49 ) это ( 7^2 ), заменим и упростим:
( \frac{7^3 \cdot (7^2)^{-4}}{7^{-13}} = \frac{7^3 \cdot 7^{-8}}{7^{-13}} )
Теперь мы применим свойство степеней, учитывая, что ( a^{m-n} = \frac{a^m}{a^n} ), и получим:
( 7^{3 - (-8) - (-13)} = 7^{3 + 8 + 13} = 7^{24} )
Ответ: ( 7^{24} )
Задание №2:
Аналогично, воспользуемся свойствами степеней для вычисления ( \frac{1}{4^{-10}} - \frac{1}{4^9} ).
Здесь понадобится привести к общему знаменателю, сначала преобразуем первую дробь:
( \frac{1}{4^{-10}} = 4^{10} )
Теперь преобразуем вторую дробь:
Так как ( 4^9 ) и ( 4^{10} ) имеют общий знаменатель ( 4^{10} ), мы просто вычитаем степени:
( 4^{10} - \frac{1}{4^9} = 4^{10} - 4^{-9} )
Применим свойства степеней:
( 4^{10} \cdot 4^{9} = 4^{10-9} = 4 )
Ответ: ( 4 )
Задание №3:
Решаем следующее выражение:
( \frac{13^4 \cdot 15^{-7}}{9^3 \cdot 6^{-1}} )
Прежде всего, преобразуем основания степеней к одним и тем же числам, если это возможно. Так как ( 9 ) это ( 3^2 ), и ( 6 ) это ( 2 \cdot 3 ), мы можем выразить всё через ( 3 ) и ( 2 ):
( \frac{13^4 \cdot 15^{-7}}{(3^2)^3 \cdot (2 \cdot 3)^{-1}} )
Теперь упростим выражение, распределив степени и выполним деление степеней с одинаковыми основаниями:
( \frac{13^4 \cdot (3 \cdot 5)^{-7}}{3^6 \cdot 2^{-1} \cdot 3^{-1}} )
Дальше упрощаем с учетом свойств степеней:
( \frac{13^4 \cdot 3^{-7} \cdot 5^{-7}}{3^5 \cdot 2^{-1}} )
( \frac{13^4 \cdot 5^{-7}}{3^{5+7} \cdot 2^{-1}} )
( \frac{13^4 \cdot 5^{-7}}{3^{12} \cdot \frac{1}{2}} )
Здесь обратите внимание на то, что выражение стало достаточно сложным для упрощения без калькулятора, поэтому я покажу только концепцию, без точного числового значения:
( \frac{13^4}{3^{12} \cdot 5^7 \cdot 2} )
Ответ будет в виде дробного числа с большими числителем и знаменателем.
Задание №4:
И наконец, решим четвертое выражение:
( \frac{x^8 y^{-1}}{(2x^2)^2 y^3} \cdot \frac{14}{x^6 y^{-4}} )
Упростим каждый множитель в отдельности:
( \frac{x^8 y^{-1}}{4x^4 y^3} \cdot \frac{14}{x^6 y^{-4}} = \frac{x^8 y^{-1}}{4x^4 y^3} \cdot \frac{14}{x^6 y^{-4}} )
Распределим степени и сократим подобные:
( \frac{x^{8-4} y^{-1-3}}{4} \cdot \frac{14}{x^{6} y^{-4}} )
( \frac{x^4 y^{-4}}{4} \cdot \frac{14}{x^6 y^{-4}} )
Произведем дальнейшее сокращение:
( \frac{14 x^4}{4 x^6} )
И окончательно сократим дополнительно по ( x ):
( \frac{14}{4 x^{6-4}} )
И упростим числа:
( \frac{7}{2 x^2} )
Так что ответ:
( \frac{7}{2 x^2} )
Надеюсь, мои объяснения помогли тебе разобраться. Если нужно что-то дополнительно прояснить, спрашивай!
