Давай решим по порядку.
Задача №1. Нам нужно найти угол ( MKN ). Известно, что точка ( O ) – центр окружности, и ( \angle MON = 68^\circ ). Так как ( OKN ) - радиусы окружности, то треугольник ( MOK ) равнобедренный и ( \angle MOK = \angle MKO ). Углы при основании равнобедренного треугольника равны, поэтому ( \angle MKO = \angle MOK = \frac{180^\circ - \angle MON}{2} = \frac{180^\circ - 68^\circ}{2} = \frac{112^\circ}{2} = 56^\circ ). Поскольку вписанный угол ( MKN ) опирается на ту же дугу, что и центральный угол ( MON ), ( \angle MKN = \frac{\angle MON}{2} = \frac{68^\circ}{2} = 34^\circ ).
Задача №2. Нам нужно найти радиус окружности, если ( OB = 10 ) см и ( \alpha = 30^\circ ). Отрезок ( OB ) – это радиус, о котором идёт речь, следовательно, радиус равен ( OB = 10 ) см.
Задача №3. Мы должны доказать, что ( \angle MNK = \angle MNF ). Треугольник ( MNF ) равнобедренный, так как ( NF = NK ) (дано). Значит, углы ( \angle NFM ) и ( \angle NKM ) равны. Так как ( \angle MNK ) и ( \angle MNF ) — вписанные и опираются на одну и ту же дугу ( MK ), они равны.
Задача №4. Чтобы построить равносторонний треугольник ( ABC ), нам нужно взять циркуль, установить его ширину равной длине стороны равностороннего треугольника и описать окружность из точки ( A ). Затем, не меняя ширину циркуля, построим ещё две окружности с центрами в точках, где первая окружность пересекла первоначальные линии. Точки пересечения этих двух окружностей будут двумя другими вершинами равностороннего треугольника. Нужно соединить их с ( A ), и треугольник построен. Биссектрису угла ( C ) проводим классическим способом с помощью циркуля и линейки, так чтобы она разделила угол пополам.
