Привет! Давай вместе решим это неравенство шаг за шагом.
У тебя есть неравенство с квадратными корнями:
√(x² - 5x) < √24
Первым делом обратим внимание, что выражения под корнями должны быть неотрицательными, так как из отрицательных чисел вещественный корень извлечь нельзя. Поэтому:
- x² - 5x ≥ 0
Выражение x² - 5x можем разложить на множители:
x(x - 5) ≥ 0
Исходя из этого, получаем, что x ≥ 5 или x ≤ 0.
- Теперь сравним выражения под корнями:
x² - 5x < 24
Для решения этого неравенства, перенесём все члены неравенства в одну сторону и решим как квадратное неравенство:
x² - 5x - 24 < 0
Разложим квадратный трёхчлен на множители:
(x - 8)(x + 3) < 0
Теперь найдем интервалы, в которых произведение будет отрицательным. Это произойдет, когда один множитель положителен, а другой отрицателен:
- Итак, интервал для x получается (−3; 8).
Теперь возьмем пересечение интервалов, полученных в пунктах 1 и 3:
x ∈ (−∞; 0] ∪ [5; +∞) и x ∈ (−3; 8)
Общий интервал, удовлетворяющий обоим условиям:
x ∈ (0; 8)
Таким образом, искомый интервал для решения неравенства:
x ∈ (0; 8)
Теперь ты знаешь как решать такого рода неравенства. Удачи на экзамене!
