В параллелограмме ABCD проведена диагональ АС. Точка 0 является центром окружности, вписанной в треугольник АВС. Расстояния от точки О до точки А и прямых AD и АС соответственно равны 5, 4 и 3. Найдите площадь параллелограмма ABCD.

В данной задаче, чтобы найти площадь параллелограмма ABCD, нам необходимо воспользоваться свойствами окружности, вписанной в треугольник. По условию, расстояние от точки O до точки A равно 5, а от точек AD и AC равны 4 и 3 соответственно. Зная, что точка O – центр вписанной окружности треугольника ABC, можно выразить радиус этой окружности. Так как расстояние от точки O до стороны треугольника равно радиусу вписанной окружности, получаем, что радиус равен 3. Теперь можем построить касательные к окружности, проходящие через точки A и C. Эти касательные пересекут стороны AD и BC в точках M и N. Таким образом, получаем, что AC = AM + MC = 3 + 4 = 7. Теперь мы видим, что в треугольнике ABC имеем сторону AC длиной 7 и радиус вписанной окружности равный 3. Рассмотрев угол между сторонами AB и BC треугольника ABC, который равен углу BCD параллелограмма, можем применить формулу площади треугольника через стороны и радиус окружности. Исходя из этого, площадь треугольника ABC равна S(ABC) = p*r, где p - полупериметр, r - радиус вписанной окружности. После нахождения площади треугольника ABC можно утверждать, что площадь параллелограмма ABCD равна удвоенной площади треугольника ABC.