Прямая, проходящая через точку , касается окружности с центром в точке . Найдите градусную меру меньшего угла треугольника , если один из его углов равен .
Привет! Давай разберёмся с задачей.
Итак, у нас есть прямая, которая проходит через точку \(А\) и касается окружности с центром в точке \(О\) в точке \(B\). Нам нужно найти градусную меру меньшего угла треугольника \(АОВ\), если один из его углов равен \(72^\circ\).
Поскольку прямая касается окружности в точке \(B\), то она является касательной и угол между радиусом \(OB\) и касательной в точке \(B\) равен \(90^\circ\). Это означает, что \(\angle AOB = 90^\circ\).
Также известно, что один из углов треугольника \(AOB\) равен \(72^\circ\). Возможно, это либо \(\angle ABО\), либо \(\angle BOA\), что в итоге может быть меньше или равно \(72^\circ\) по нашему условию.
Найдём теперь меры оставшихся углов. Поскольку сумма всех углов треугольника равна \(180^\circ\), то:
\[ \angle AOB + \angle ABО = 180^\circ - 72^\circ = 108^\circ \]
Так как \(\angle AOB = 90^\circ\), то:
\[ \angle AOB + \angle ABО = 180^\circ - 72^\circ \]
Выразим один из углов:
\[ 90^\circ + \angle AOB + \angle BОA = 180^\circ \]
Следовательно, малый угол треугольника равен \(180^\circ - \angle AOB - \angle ABО - 72^\circ = 18^\circ\).
Итак, меньший угол треугольника \(АОВ\) равен \(18^\circ\).
