12.Решите задачи на движение: а) Из лагеря вышла группа туристов и отправилась к озеру со скоростью 4 км/ч. Через 1,5 часа вслед за ними выехал велосипедист со скоростью 12 км/ч.…

а) В данной задаче мы имеем движущиеся объекты - туристы и велосипедист. Они движутся в одном направлении. Сначала найдем, какое расстояние прошли туристы за время, пока велосипедист выехал:

\[ 4 \, \text{км/ч} \times 1.5 \, \text{ч} = 6 \, \text{км} \]

Таким образом, когда велосипедист выехал, туристы находились на расстоянии 6 км от лагеря. Для того чтобы найти время, через которое велосипедист догонит туристов, воспользуемся формулой:

\[ \text{расстояние} = \text{скорость} \times \text{время} \]

Пусть время, через которое велосипедист догонит туристов, равно \(t\) часов. Тогда:

\[ 12 \, \text{км/ч} \times t = 6 \, \text{км} + 4 \, \text{км/ч} \times t \] \[ 12t = 6 + 4t \] \[ 8t = 6 \] \[ t = 0.75 \, \text{ч} \]

Итак, велосипедист догонит туристов через 0.75 часа или 45 минут.

б) Для решения этой задачи воспользуемся формулой:

\[ \text{расстояние} = \text{скорость} \times \text{время} \]

Пусть время, через которое мотоциклист догонит велосипедиста, равно \(t\) часов. Тогда:

\[ 40 \, \text{км} - 11.5 \, \text{км/ч} \times 2.4 \, \text{ч} = 11.5 \, \text{км/ч} \times t \] \[ 40 - 27.6 = 11.5t \] \[ 12.4 = 11.5t \] \[ t \approx 1.08 \, \text{ч} \]

в) В этой задаче машины движутся навстречу друг другу, поэтому их скорости складываются. Расстояние между городами 420 км. Для грузовой машины:

\[ s_1 \times t = 420 \]

Для легковой машины:

\[ s_2 \times t = 420 \]

где \(s_1 = 60 \, \text{км/ч}\) и \(s_2 = 80 \, \text{км/ч}\). Так как машины движутся друг на друга, то:

\[ s_1 \times t + s_2 \times t = 420 \] \[ (t) * (60 + 80) = 420 \] \[ t = \frac{420}{140} = 3 \, \text{ч} \]

Грузовая машина прибудет в пункт назначения через 3 часа после их встречи.

г) Для решения этой задачи, найдем скорость Миши в м/с:

\[ \text{расстояние} = \text{скорость} \times \text{время} \]

Миша прошел 825 м в течение 12 минут (0.2 ч):

\[ 825 = \text{скорость} \times 0.2 \] \[ \text{скорость} = \frac{825}{0.2} = 4125 \, \text{м/ч} = 1.14 \, \text{м/с} \]

Итак, Миша шел со скоростью 1.14 м/с.

д) Для решения этой задачи воспользуемся формулой:

\[ \text{расстояние} = \text{скорость} \times \text{время} \]

Известно, что время пути пешехода должно быть 3 часа, а скорость пешехода для такого пути:

\[ 4 \, \text{км/ч} \times 3 \, \text{ч} = 12 \, \text{км} \]

Тогда, скорость пешехода для данного расстояния 12 км:

\[ 12 = \text{скорость} \times 3 \] \[ \text{скорость} = 4 \, \text{км/ч} \]

Итак, чтобы пройти расстояние за 3 часа, пешеход должен идти со скоростью 4 км/ч.

е) Пусть скорость одного автомобиля равна \(x\) км/ч, тогда скорость второго автомобиля равна \(x + 2.4\) км/ч. Оба автомобиля движутся друг на друга, поэтому:

\[ x + (x + 2.4) = 240 \] \[ 2x + 2.4 = 240 \] \[ 2x = 240 - 2.4 \] \[ 2x = 237.6 \] \[ x = 118.8 \, \text{км/ч} \]

Таким образом, скорость первого автомобиля составляет 118.8 км/ч, а второго - 121.2 км/ч. Расстояние между ними через 1 час после начала движения будет:

\[ 118.8 \times 1 + 121.2 \times 1 = 240 \]

ё) Для решения этой задачи направим теплоход по течению реки. Скорость относительно берега равна 27 - 3 = 24 км/ч. Тогда время пути:

\[ \frac{120}{24} = 5 \, \text{ч} \]

ж) Пусть расстояние между пристанями равно \(d\) км. Время, которое проплывет катер по течению, равно 2 часа, а против течения - 3 часа. Тогда:

\[ \text{скорость по течению} = \frac{d}{2} = 2 + V_{\text{течения}} \] \[ \text{скорость против течения} = \frac{d}{3} = 2 - V_{\text{течения}} \]

Решив систему уравнений, найдем \(d = 16\) км.

3. Для решения этой задачи сначала найдем время пути моторной лодки от одного причала до другого: При движении вниз по течению:\[ \text{вниз} = \frac{24}{10+2} \, \text{ч} = 2 \, \text{ч} \] При движении вверх против течения:\[ \text{вверх} = \frac{24}{10-2} \, \text{ч} = 3.43 \, \text{ч} \] Общее время пути:\[ \text{вниз} + \text{вверх} = 5.43 \, \text{ч} \]

и) Сначала найдем время пути моторной лодки от одной пристани до другой: При движении по течению:

\[ \text{вниз} = \frac{36}{15+3} \, \text{ч} = 2 \, \text{ч} \]

При движении против течения:

\[ \text{вверх} = \frac{36}{15-3} \, \text{ч} = 3 \, \text{ч} \]

Общее время пути:

\[ \text{вниз} + \text{вверх} = 5 \, \text{ч} \]