На стороне АС треугольника АВС выбраны точки D и E так, что отрезки AD и CE равны (см. рис.). Оказалось, что отрезки BD и BE тоже равны. Докажите, что треугольник АВС  — равнобедренный.

Давайте разберем задачу шаг за шагом. 1. **Условия задачи**: У нас есть треугольник \(ABC\). На стороне \(AC\) выбраны точки \(D\) и \(E\), такие что \(AD = CE\) и отрезки \(BD\) и \(BE\) равны (то есть \(BD = BE\)). 2. **Цель**: Необходимо доказать, что треугольник \(ABC\) является равнобедренным, т.е. \(AB = AC\). 3. **Доказательство**: - Поскольку \(AD = CE\) и \(BD = BE\), мы можем рассмотреть две пары треугольников: - \(\triangle ABD\) - \(\triangle CBE\) 4. **Применение теоремы о равенстве треугольников**: В треугольниках \(\triangle ABD\) и \(\triangle CBE\) у нас есть: - \(AD = CE\) (по условию задачи), - \(BD = BE\) (по условию задачи), - общий элемент \(AB\) и \(AC\) (так как обе точки \(D\) и \(E\) лежат на стороне \(AC\)). Таким образом, у нас есть равенство двух сторон (по равенству отрезков) и угол между ними. Это говорит о том, что эти два треугольника равны по стороне, углу и стороне (SAS). 5. **Заключение**: Если треугольники \(ABD\) и \(CBE\) равны, то стороны \(AB\) и \(AC\) также равны (так как при равенстве треугольников соответствующие стороны равны). Это и означает, что треугольник \(ABC\) является равнобедренным. Таким образом, мы доказали, что \(AB = AC\), что и требовалось. Треугольник \(ABC\) — равнобедренный.