В прямоугольном треугольнике гипотенуза относиться к катетут как 5:3. Найдите периметр треугольника, если второй катет равен 12 см
В прямоугольном треугольнике, если гипотенуза относится к одному из катетов как 5:3, это означает, что мы можем обозначить гипотенузу как \(5x\) и один из катетов как \(3x\). Давайте назовем катет, который равен \(12\) см, другим катетом, тогда он будет равен \(b = 12\) см.
Согласно теореме Пифагора, для прямоугольного треугольника справедливо следующая формула:
\[ c^2 = a^2 + b^2, \]
где \(c\) — это гипотенуза, \(a\) — один из катетов, а \(b\) — другой катет. В нашем случае:
- Гипотенуза \(c = 5x\).
- Один катет \(a = 3x\).
- Второй катет \(b = 12\) см.
Подставим значения в формулу:
\[ (5x)^2 = (3x)^2 + 12^2. \]
Это можно упростить:
\[ 25x^2 = 9x^2 + 144. \]
Вычтем \(9x^2\) из обеих сторон:
\[ 25x^2 - 9x^2 = 144, \] \[ 16x^2 = 144. \]
Разделим обе стороны на \(16\):
\[ x^2 = 9. \]
Теперь, извлечем квадратный корень:
\[ x = 3. \]
Теперь можем найти длины катетов и гипотенузы:
- Первый катет \(a = 3x = 3 \cdot 3 = 9\) см.
- Второй катет \(b = 12\) см.
- Гипотенуза \(c = 5x = 5 \cdot 3 = 15\) см.
Теперь найдем периметр треугольника, который равен сумме всех его сторон:
\[ P = a + b + c = 9 + 12 + 15 = 36 \text{ см.} \]
Таким образом, периметр данного прямоугольного треугольника равен \(36\) см.
