В прямоугольном треугольнике, если гипотенуза относится к одному из катетов как 5:3, это означает, что мы можем обозначить гипотенузу как (5x) и один из катетов как (3x). Давайте назовем катет, который равен (12) см, другим катетом, тогда он будет равен (b = 12) см.
Согласно теореме Пифагора, для прямоугольного треугольника справедливо следующая формула:
[
c^2 = a^2 + b^2,
]
где (c) — это гипотенуза, (a) — один из катетов, а (b) — другой катет. В нашем случае:
- Гипотенуза (c = 5x).
- Один катет (a = 3x).
- Второй катет (b = 12) см.
Подставим значения в формулу:
[
(5x)^2 = (3x)^2 + 12^2.
]
Это можно упростить:
[
25x^2 = 9x^2 + 144.
]
Вычтем (9x^2) из обеих сторон:
[
25x^2 - 9x^2 = 144,
]
[
16x^2 = 144.
]
Разделим обе стороны на (16):
[
x^2 = 9.
]
Теперь, извлечем квадратный корень:
[
x = 3.
]
Теперь можем найти длины катетов и гипотенузы:
- Первый катет (a = 3x = 3 \cdot 3 = 9) см.
- Второй катет (b = 12) см.
- Гипотенуза (c = 5x = 5 \cdot 3 = 15) см.
Теперь найдем периметр треугольника, который равен сумме всех его сторон:
[
P = a + b + c = 9 + 12 + 15 = 36 \text{ см.}
]
Таким образом, периметр данного прямоугольного треугольника равен (36) см.
