моторная лодка прошла 10 км по озеру и 4 км против течения реки затратив затратив на весь путь 1 час найти собственную скорость лодки если скорость течения реки равна 3 км/ч
Для решения этой задачи давайте обозначим собственную скорость моторной лодки как \( v \) км/ч. Мы знаем, что лодка проходит 10 км по озеру и 4 км против течения реки. Скорость течения реки составляет 3 км/ч.
Рассмотрим путь по озеру:
Здесь лодка движется со своей собственной скоростью, поэтому время, затраченное на этот участок, можно выразить как:
\( t_1 = \frac{10}{v} \)Теперь путь против течения:
Когда лодка идет против течения, ее effective скорость составляет \( v - 3 \) км/ч. Время, затраченное на этот участок, будет:
\( t_2 = \frac{4}{v - 3} \)Общее время пути:
По условию задачи, общее время на весь путь составило 1 час, поэтому можем записать уравнение:
\( t_1 + t_2 = 1 \)
Подставим найденные выражения:
\[ \frac{10}{v} + \frac{4}{v - 3} = 1 \]Решим это уравнение:
Умножим всё уравнение на \( v(v - 3) \) для устранения дробей: \[ 10(v - 3) + 4v = v(v - 3) \] Раскроем скобки: \[ 10v - 30 + 4v = v^2 - 3v \] Сложим все слагаемые: \[ 14v - 30 = v^2 - 3v \] Приведём все к одной стороне: \[ v^2 - 17v + 30 = 0 \]Решим квадратное уравнение: Для нахождения корней используем дискриминант: \[ D = (-17)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 30 = 289 - 120 = 169 \] Корни будут: \[ v = \frac{17 \pm \sqrt{169}}{2} = \frac{17 \pm 13}{2} \] Это даёт два значения: \[ v_1 = \frac{30}{2} = 15 \quad \text{и} \quad v_2 = \frac{4}{2} = 2 \]
Рассмотрим допустимость корней: Скорость лодки не может быть меньше скорости течения, потому что это подразумевало бы невозможность движения против течения. Поэтому единственное подходящее значение - это \( v = 15 \) км/ч.
Таким образом, собственная скорость лодки составляет 15 км/ч.
